Proporcions àuries

LES MATEMÀTIQUES EN EL MÓN ARTÍSTIC. EL NÚMERO ÀURI

Creieu que els fotògrafs fan les fotos per què sí? O deuen estudiar i mirar bé quina és la millor posició per a fer la foto?

Efectivament. Un bon fotògraf sap que per a fer una bona foto és necessari que tots els elements que hi surten estiguin col·locats de forma estratègica.

A més, el fotògraf sap que és molt important la llum que fa servir i la perspectiva d’es don es captura la imatge.

I... sabeu qui més ha de tenir en compte tots aquests aspectes?

Doncs sí. Els pintors i artistes també han de tenir molt present aquests punts.

Com ja sabeu, el món de la fotografia es remunta als primers artistes i, per tant, és necessari conèixer el passat per entendre l’actualitat.

Durant l’edat antiga, arquitectes, pintors, escultors i dibuixants es van adonar que, per a que una obra fos agradable als ulls i tingués una bona estètica, la seva composició havia de ser matemàticament perfecte.

Però, com ho aconseguien?

El matemàtic Fibonacci (Leonardo Pisano) i l’arquitecte Vitruvio van ser dels primers en descobrir que les proporcions ideals (que ells van anomenar número d’or, secció àuria o “phi”)  es troben en la mateixa natura: en els animals, les persones, els paisatges... per tant calia tenir en compte aquest número per a crear les seves obres.

Es van adonar que la naturalesa està composta per tot d’elements geomètrics rectangulars amb unes proporcions que, col·locats de manera estratègica, creen paisatges i formes perfectes que ens resulten molt agradables a la vista. Un seguit de rectangles amb unes proporcions perfectes que segueixen la regla matemàtica que Fibonacci va descobrir.

Mireu alguns exemples:

Així doncs, van començar a utilitzar aquestes dimensions i estructura per a crear els seus quadres, monuments, edificis... Havia nascut una nova forma de mostrar la bellesa de les coses. Havia nascut el número d’or, conegut també com SECCIÓ ÀURIA o NÚMERO PHI.

Dins el mateix  número d’or/número auri s’hi amaguen formes geomètriques que és el que fan que les imatges o elements ens siguin agradables a la vista.

En són moltes les figures geomètrics que podem extreure de la naturalesa i que formen part del conjunt del número o secció àuria.  

Un exemple n’és el pentàgon, una forma geomètrica que abunda al nostre voltant i trobem present en molts elements de la naturalesa.

I no només ho trobem a la natura, sinó que l’home l’ha fet servir i l’ha incorporat en molts dels elements que fem servir en el nostre dia a dia.

Mirem aquest vídeo per a entendre-ho millor.

https://www.youtube.com/watch?v=s2afpO8qidc

Ara que ja hem vist i posat en pràctica les nostres habilitats de trobar el número d'or (o phi) en obres com la "Mona Lisa" o la "Torre Eiffel", és hora que ho apliquem a diferents imatges fotogràfiques.
Ho provem?

PERÒ... D'ON SORGEIX EL NÚMERO D'OR?

Com ja vam llegir anteriorment, sabem que qui va descobrir les proporcions àuries van ser el matemàtic Fibonacci i l'arquitecte Vitruvio, però fou gràcies als estudis del primer (de Fibonnaci) que es van poder establir les relacions existents entre els números que segueixen la LLEI DE PROPORCIONS.
Aquesta llei de proporcions es troba en la naturalesa i, tot aquell element que contengui aquestes proporcions, serà considerat com un element "diví", "bell", "perfecte".

Però.. què és la LLEI DE PROPORCIONS?

Es tracta d'una sèrie numèrica: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55... una sèrie infinita en la que la suma de dos números consecutius sempre dóna el resultat del següent número.

0
0+1= 1
1+0= 1
1+1= 2
2+1= 3
3+2= 5
5+3= 8
8+ 5= 13
13+8= 21
...

Resulta que, si dividim un d'aquests números pel seu anterior (ex: 8/5 o 13/8) el seu resultat sempre serà molt aproximat al conegut com a número auri, número d'or o número PHI : 1'6180339...

Calculem...

Segueix la seriació anterior i completa la sèrie (calcula els 8 resultats següents).

Ja ho tens?

Comprovem-ho!

0
0+1= 1
1+1= 2
2+1= 3
3+2= 5
5+3= 8
8+ 5= 13
13+8= 21
21+13=34
34+21= 55
55+34= 89
89+55 = 144
144+89= 233
233+144= 377
377+233= 610
610+377= 987

I.. és cert que la divisió d'un nombre pel nombre que el precedeix sempre dóna un número aproximat al número 1'6180...(PHI)?
Comprovem-ho!

Divideix els números 610, 377, 89 i 21 pel seu anterior.

Comprovem els resultats

610/377 = 1'6180...
377/233 = 1'6180...
89/55 = 1'6181...
21/13 = 1'6153...



Recordeu les divisions que vam fer amb els números de les proporcions àuries? Recordeu que els resultats eren gairebé idèntics?

Que fort, eh!?


Doncs, com ja vam comentar, resulta que aquestes proporcions són presents en la naturalesa, en el cos humà i també en moltes obres (arquitectòniques, pictòriques, escultures...) del nostre entorn.
Fins i tot, com ja heu pogut comprovar, també són presents en les fotografies!

Comprovem-ho.

Mirem l'exemple de les proporcions en el cos humà.

La primera falange (de color vermell) mesura 2 cm, que és la part proporcional de la segona falange (la groga) que mesura 3 centímetres (la suma de la falange vermella més el número anterior de l'escala de Proporcions de Fibonacci: el número 1). I si mirem la tercera falange (la verda) veurem que és la suma de la falange vermella i groga (2 +3), i que alhora és proporcional a la següent falange (la blava), que és la suma de la falange verda i groga (5+3).

I en un pentàgon?

Si marquem totes les diagonals del pentàgon, apareix dibuixada una estrella de 5 puntes. Si descomposem aquesta estrella, des de la línia mes curta a la més llarga, podrem veure que les proporcions de Fibonacci també hi són presents.

Ho comprovem?

Dibuixeu la vostra mà sobre el quadern i intenteu marcar la llei de proporcions de Fibonnacci. 

Dividiu en 5 parts el dit del cor (el dit del mig) i anomeneu-les (a, b, c, d). Després mediu cadascuna de les parts de les vostres falanges i anoteu-ho al quadern. Recordeu que a serà la part més petita i d la més llarga.

Ho veieu?? Tot i que tots tenim les mans diferents, les proporcions són les mateixes!!!

No és sorprenent????

Comprevem que es cumpleix la regla.

a =

a + b= c

c+ b= d

Fem ara el mateix amb el pentagon. 

Mesureu les diferents rectes (a,b,c,d) i comproveu que segueixen les proporcions de Fibonnacci.

(Enganxeu la fotocòpia a la llibreta i escriviu les mesures al costat. Utilitzeu una regla per a fer-ho).

A continuació...

Ara que ja sabeu quant medeixen, dibuixeu les 4 línies una al costat de l'altre, mostrant l'escala que es dibuixen entre elles.

   

Entrem a la següent web informativa i vegem un últim vídeo per acabar de tancar el tema. El vídeo resumeix, de forma molt explicativa, què és el número PHI.

https://sites.google.com/site/matematica358/home/la-divina-proporcion-en-el-arte-y-las-construcciones-humanas/la-divina-proporcion-en-la-naturaleza


I per acabar, només ens queda representar, amb les mesures i proporcions exactes, un rectangle de proporcions divines.

Aquesta serà la part més plàstica del tema, ja que ho farem en un full d'art i ho exposarem al passadís. 

El treball haurà de portar el títol de RECTANGLE AURI.

Feu servir la regla i el llapis. Mesureu primer les dimensions i marqueu el rectangle sense prémer, per si heu d'esborrar les línies.
Un cop tingueu el rectangle (de 21 x 13cm), podreu passar a dibuixar els quadrats i rectangles interiors més petits (sempre seguint les proporcions de fibonacci).




Quan tingueu tots els rectangles i quadrats marcats, repasseu les línies amb un rotulador negre i marqueu l'espiral que passa pels diferents rectangles i quadrats. 

Finalment, haureu de pintar la vostra obra de colors diferents.

Per a fer aquesta tasca teniu la sessió d'avui dimecres i demà dijous.

A continuació teniu exemples de com podeu fer-ho. Podeu ser tan creatius com vulgueu, però que es vegin bé els diferents rectangles i quadrats que es dibuixen i l'espiral que passa per cadascun d'ells.